专题13.5 等边三角形-重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）.docx

专题13.5 等边三角形-重难点题型

【人教版】

【知识点1 等边三角形】

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

【题型1 等边三角形的性质（角度问题）】

【例1】（2020秋?赫山区期末）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数．

【解题思路】依据等边三角形三线合一的性质，即可得到AD垂直平分BC；利用垂直平分线的性质即可得到EC＝EB，进而得到∠ECD的度数；再根据角的和差关系即可得出结论．

【解答过程】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴D是BC的中点，

∴AD垂直平分BC，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB＝45°，

又∵∠ACB＝60°，

∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°．

【变式1-1】（2020秋?河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．

【解题思路】根据BM＝CN可得CM＝AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA＝∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM＝∠ACB＝60°，即可解题．

【解答过程】证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，

又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，

∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，

∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°

∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，

∴∠AQN＝∠ACB，

∵∠BQM＝∠AQN，

∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．