2022版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何第7节立体几何中的向量方法_求空间角与距离学案含解析新人教B版.doc

第7节　立体几何中的向量方法——求空间角与距离

一、教材概念·结论·性质重现

1．利用空间向量求距离

(1)点到直线的距离

如图所示，

点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离，这一距离也等于|Aeq \o(B,\s\up6(→))|.

(2)点到平面的距离

如图所示，

一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝eq \f(|\o(BA,\s\up6(→))·n|,|n|).

求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．有时利用等积法求解可能更方便．

2．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ

a与b的夹角β

范围

eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

(0，π)

求法

cos θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)

cos β＝eq \f(a·b,|a||b|)

求两异面直线l1，l2的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角〈a，b〉，由于夹角范围不同，有cos θ＝|cos〈a，b〉|.

3．直线与平面所成角的求法

如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，v与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝eq \f(|v·n|,|v||n|).

求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量v的夹角，则sin θ＝|cos〈n，v〉|.

4．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(CD,\s\up6(→))〉．