专题56 圆的方程(解析版).docx

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专题56　圆的方程

专题知识梳理

1．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

2．形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程：当D2＋E2－4F>0时，叫做圆的一般式方程，圆心坐标为，半径为；当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点，该点坐标为；当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形．

3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是；而A＝C，B＝0是方程表示圆的必要不充分条件．

4．以两个不同点A(x1，y1)和B(x2，y2)为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．

5．点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆外、点在圆内．具体内容如下：

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M的坐标为(x0，y0)．

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．

考点探究

考向1　圆的方程的求解问题

【例】（1）圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为．

（2）过点且与圆切于原点的圆方程是 ．

【例】（1）法一： ∵圆与直线相切于点，∴过点且与直线垂直的直线为，由得，则半径，则圆的方程是．

法二 ：∵圆心在直线上，设圆心，又∵圆与直线相切于点，则，∴，也即圆心为.

则半径，则圆的方程是．

（2）圆的圆心，根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可以得共线，所以圆心M在直线上.又因为圆C过点和原点O，所以C在OA的中垂线上，由解得圆心为，半径为圆心到原点的距离，所以所求圆的方程是.

题组训练

1.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线上的圆的方程是．