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第三章 一维单元 线性单元 平面单元 立体单元 总体、局部和自然坐标 数值积分：高斯－勒让德多项式 ANSYS实例 3.1 一维单元 形函数 形函数在有限元分析中,扮演非常主要的角色. 除作为元素(单元)的内插函数,将元素内的位移或温度分布,以节点位移或节点温度表示外,在余量法中的迦辽金法中,亦可作为加权函数来用. 此外,亦可将分布载荷转换为集中力与弯矩,分别施加在各节点上. 形函数根据其多项式的幂次,分为一次、二次、三次与高次等。 位移沿着单元的分布可以用一个线性函数近似。如图所示。 一维一次元素的形函数中，函数值沿单一坐标轴以线性变化。假设位移函数沿x轴线性变化，位移函数u＝u(x)可写成: u=a1+a2x 向量形式: 假设在i、j节点的位移值分别为ui和uj , 有: u=ui 在X=Xi处 u=uj 在X=Xj处 将节点的值带入线性方程将产生两个方程和两个未知量： 求解未知量a1和a2得到： 由节点的值表示的单元的位移分布为： 改写一下形式得到： 定义形函数： 其中l为单元长度。 由形函数表示的单元的位移分布为： 写成矩阵形式： 可以使用形函数和相应的节点值来表示给定单元上的任意的未知量的变化。 形函数的性质 在相应的节点上值为1,而在相邻节点上值为0. 和 和 2.形函数的和为1。 形函数对于x导数的和为0 实例 （a）悬臂梁在X＝4cm处的温度由单元（2）来表示： （b）悬臂梁在X=8cm处的温度由单元（3）来表示： 对于这个例子，注意 和 的区别。 假设承受的是轴向负荷 , 应用线性单元, 柱体的 垂直位移由下式确定. （a）应用总体坐标Y，点A的位移由单元（1）表示： （b）点B的位移由单元（4）表示： 3.2 一维三节点单元 一维三节点单元 用二次函数代替线性函数要求使用三个节点来定义一个单元,这是因为至少要有三个点才能确定一个二次函数.第三个点可以取在