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中考数学复习微专题： 《最短路径问题》的

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《最短路径问题》的反思及应用

我们知道， 有效地开发和利用课本， 对于学生的学习具有重要的

意义。 学生对于课本上例题或习题能否吃透， 直接影响着学生的学习

效果。因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟

问题解决过程的数学内涵。

有这样一个问题：

如图 1 所示， 牧马人从 A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然

后到 B 地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短 ?

分析我们把河边近似看做一条直线 l( 如图 2)， P 为直线 l 上的

一个动点，那么， 上面的问题可以转化为：当点 P在直线 l 的什么位

置时， AP与 PB的和最小。

AB ，交直线 l 于点 P，则点 P 就如图 3 所示，作点 B 关于直线 l

的对称点 'B ，连接 '

AB 最短， 由对称性质知， 是牧马人到河边饮马的位置。 事实上，

点'B 与点 A 的线段 '

+=+= ，即点 P 到点 A、 B 的距离之和最小。

PA PB PA PB AB

'

1

PB PB

= ，因为 ''

上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求

路线长转化为两定点之间的距离， 基本思路是运用轴对称及两点之间

线段最短的性质， 将所求线段之和转化为一条线段的长。 从解题过程

不难看出， 本题蕴含着三个数学思想方法 : 数学模型思想， 转化思想，

对称思想。如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，

再复杂的问题也会迎刃而解。

一、基本应用

如图 4，点 O是矩形 ABCD的中心， E 是 AB上的点， 沿 CE折叠后，

点 B恰好与点 O BC=，则折痕 CE的长为多少 ?

重合，若 3