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倒立摆数学模型

倒立摆数学模型

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倒立摆数学模型

1单级倒立摆的数学模型的建立：

小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。

图1 单级倒立摆系统数学模型

倒立摆系统的模型参数如下[]：

M 小车质量 ；

m 摆杆质量

b 小车摩擦系数 m /sec

I 摆杆质量 *m*m 摆杆转动轴心到杆质心的长度 T 采样频率

下面N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为： (1)

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （2）

把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程： （3）

为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程： （4）

力矩平衡方程如下： （5）

方程中力矩的方向，由于，，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： （6）

假设与1（单位是弧度）相比很小，即，则可进行近似处理：

用代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下： （7）

对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到： （8）

（推到时假设初始条件为0）则，

摆杆角度和小车位移的传递函数为：

将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：

摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：

将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：