考点27 基本不等式-高考全攻略之备战高考数学（理）考点一遍过含解析.doc

基本不等式：

（1）了解基本不等式的证明过程.

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

一、基本不等式

1．基本不等式：

（1）基本不等式成立的条件：.

（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．

2．算术平均数与几何平均数

设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)

（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

4．常用结论

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

二、基本不等式在实际中的应用

1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；

2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及

等．

解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．

考向一 利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常用技巧：

（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．

（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.

①拆——裂项拆项

对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．

②并——分组并项

目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．

③配——配式配系数