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曲线与方程 一，复习直线的方程与方程的直线。 一般地，在直角直角坐标系中，如果某直线上的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系： （１）直线上点的坐标都是方程的解 （２）以这个方程解为坐标的点都是直线上的点 称这个方程叫做直线的方程，这条直线叫做方程的直线。 x y 0 y=x 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系： （１）曲线上点的坐标都是方程的解 （２）以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点 称这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 二，新课： 例如：以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程为(x-a)2 +(y-b)2 =r2 证明（１）如点Ｍ（x0，y0）在圆上，则点Ｍ（x0，y0）到（a，b）的距离为r， 则Ｍ（x0，y0）坐标满足方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2 （２）若（x0，y0）方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2的解 ，即： 则以（x0，y0）为坐标的点到（a，b）的距离为r，满足圆的定义，从而点（x0，y0）在圆上。从而得证。 【例1】证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k . 证明：（1）设 是轨迹上的任意一点. 因为点M与x轴的距离为 ，与y轴的距离为 ， 所以 所以 而 正是点M1到纵轴、横轴的距离，因 此以（x1,y1）为坐标的点到这两条直线的距离的积是常数k，点（x1,y1）是曲线上的点. 由(1)(2)可知, 是与两条坐标轴的距离的 积为常数k(k>0)的点的轨迹方程. 【例2】设A、B两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程. 整理得，x+2y-7=0 ① 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解 解：（1）设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点 则