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第九讲 几何最值及路径长

预习

如图， A， B 为定点， P 为直线 l 上一点，若点 P 恰巧使 AP+BP 最短，请画出点 P 的位置．

B

提示：

如图，A，B 为定点，MN 为直线 l 上一能够移动的线段，且 MN 最短，请画出点 M 的位置．

提示：



A

P l

长度固定，若点 M 恰巧使 AM+MN+BN

B

A

M N

①剖析定点（ A， B），动点（ M， N 在 l 上动，且 MN 长度固定），不变特点②先平移 BN，使平移后的点 N 与 M 重合，将其转变为问题 1

③以 l 为对称轴利用轴对称进行转变④由“两点之间，线段最短”确定位置

如图，∠ AOB=60°，点 P 在∠ AOB 的平分线上， OP=10cm，点 E，F 分别是∠ AOB 两边上的动点，当△ PEF 的周长最小时，点 P 到 EF 的距离是 _________．

提示：①剖析定点（ P），动点（ E 在 OA 上动， F 在 OB 上动），不变特点②分别以 OA，OB 为对称轴，将 P 对称过去，得到 P1， P2



l

OA，OB

③连结 P1P2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解 P 到 EF 的距离．

A

P

E

O F B

知识点

几何最值问题的办理思路

①剖析定点、动点，寻找不变特点；②若属于常有模型、构造，调用模型、构造解决问题；

若不属于常有模型，要结合所求目标，根据不变特点转变为基本定理或表达为函数解决问题．

转变原则：

尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．

基本定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、构造示例：

①轴对称最值模型

B

A

A

B'

P