构造函数法在抽象不等式中的巧妙应用.docx

引入：

1. 设函数

f

( x) 是奇函数

f ( x)( x

R) 的导函数，

f ( 1) 0 ，当 x

0 时， xf ( x)

f ( x) 0 ，则

使得 f (x)

0 成立的 x 取值范围（

） .

A.

(

,

1)

(0,1)

B.

( 1,0)

(1,

)

C.

(

,

1)

( 1,0)

D.

(0,1)

(1, )

1. 解析：设

f ( x)

， 则 F '(x)

xf ( x)

f ( x)

F (x)

2

.

x

x

因为 x

0

时， xf ( x) f ( x) 0

，所以

F '( x)

0 , 即当 x

0 时， F ( x) 单调递减 .

又因为

f ( x) 为奇函数，且

f (

1)

0 ，所以

f ( x)

为偶函数，且 F ( 1) F (1) 0 ,

F ( x)

x

则当 x

0 时， F (x) 单调递增 .

当 x (

, 1) 时， F ( x)

0 ， f ( x) 0 .

当 x

(0,1) 时， F ( x) 0

， f ( x)

0 .

所以 f (x)

0 成立的 x 取值范围

(

, 1)

(0,1) ，即答案为 A.

例题

1. 已 知 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 y 轴 对 称 ， 且 当 x

( ,0) 时 ， f (x )

xf ( x) 0 成 立 ， 若

0.2

0.2

log 3 f (log 3)， b

log3

9 f (log9) ，则 a, b, c 的大小关系（

）

a 2

f (2 ) ， b

3

A. b a c B.

c a b C.

c b a D.

a b c

1. 解析：设

F (x) xf ( x) ，则 F '(x) f (x) xf ( x) .

因为 x 0

时， f ( x)

xf ( x)