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求函数极限的方法

预备知识

1.1 函数极限的定义

定义1 设为定义在上的函数，为定数．若对任给的，存在正整数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限．记作：或．

定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限．记作：或．

定义3 设函数在（或）内有定义，为定数．若对任给的，存在正数，使得当时（或）有，则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限．记作：

或． 函数极限的性质

性质1（唯一性） 若极限存在，则此极限是唯一的．

性质2（局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界．

性质3（局部保号性） 若（或），则对任何正数（或），存在，使得对一切有（或）．

性质4（保不等式性） 设与都存在，且在某邻域内有，则．

性质5（迫敛性）设，且在某邻域内有，则．

性质6（四则运算法则） 若极限与都存在，则函数，，当时极限也存在，且

1. ；

2. ；

又若，则当时极限存在，且有　

3. ．

２.求函数极限的若干方法

2.1 利用定义求极限

例１ 证明．

分析 当时，，故，于是有

，

取，当时，故有，从而有

，取即可．

证明 对于，取，于是当时，有

，

由定义知成立．

注 函数在点处是否有极限，与函数在点处是否有定义无关．

2.2 利用函数的连续性求极限

例2 求．

解 ．

此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数在处连续，所以可把直接代入求极限．若以后遇到此类函数可用此方法求其极限．

2.3 利用两个重要极限求极限

首先给出两个重要极限的一般形式

（1）； （2）． 　　例3　求极限． 　　解 ，

于是有 　　　 　　　．

先利用和差化积对函数进行转化，要使用，必须使函数中出现此类型的式子，如当时，此时，再进行求解．

例 4　求极限（为给定实数）．

解　．