求函数极限的方法.doc
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文档介绍:

求函数极限的方法

预备知识

1.1 函数极限的定义

定义1 设为定义在上的函数,为定数.若对任给的,存在正整数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限.记作:或.

定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数,若对任给的,存在正数,使得当时有,则称函数当趋于时以为极限.记作:或.

定义3 设函数在(或)内有定义,为定数.若对任给的,存在正数,使得当时(或)有,则称数为函数当趋于(或)时的右(左)极限.记作:

或. 函数极限的性质

性质1(唯一性) 若极限存在,则此极限是唯一的.

性质2(局部有界性) 若存在,则在的某空心邻域内有界.

性质3(局部保号性) 若(或),则对任何正数(或),存在,使得对一切有(或).

性质4(保不等式性) 设与都存在,且在某邻域内有,则.

性质5(迫敛性)设,且在某邻域内有,则.

性质6(四则运算法则) 若极限与都存在,则函数,,当时极限也存在,且

1. ;

2. ;

又若,则当时极限存在,且有 

3. .

2.求函数极限的若干方法

2.1 利用定义求极限

例1 证明.

分析 当时,,故,于是有

取,当时,故有,从而有

,取即可.

证明 对于,取,于是当时,有

由定义知成立.

注 函数在点处是否有极限,与函数在点处是否有定义无关.

2.2 利用函数的连续性求极限

例2 求.

解 .

此题是利用函数的连续性求其极限,因为函数在处连续,所以可把直接代入求极限.若以后遇到此类函数可用此方法求其极限.

2.3 利用两个重要极限求极限

首先给出两个重要极限的一般形式

(1); (2).   例3 求极限.   解 ,

于是有        .

先利用和差化积对函数进行转化,要使用,必须使函数中出现此类型的式子,如当时,此时,再进行求解.

例 4 求极限(为给定实数).

解 .

在利用第二类重要极限求极限的过程中,通常要将第二类重要极限先进行变形再
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