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第10 章 曲线积分 第10 章 曲线积分 目前为止，我们已经把定积分的积分范围从数轴上的区间推广到了平面或空间闭区域

的情形，本章将进一步把积分的积分范围推广到了平面上的一段曲线弧的情形，相应地称为

曲线积分，它是多元函数积分学的又一重要内容. 根据实际背景的不同，曲线积分又分为对

弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分两种形式. 10.1 对弧长的曲线积分

10.1.1 对弧长的曲线积分的实际背景 曲线形物体的质量 设有一曲线形物体所占的位置是 面内的一段曲线 （如图 10-1-1），在 上任一点 xOy L L

处，其线密度为µ(x ,y ) ，试求该物体的质量. 我们已知，若此物体的线密度为常数，则其质量等于它的长度与其线密度的乘积，现在

因物体的线密度是变量，所以不能按上述方法来计算. 为了利用上述思想来计算物体的质量，我们用一

系列点M ,M ,M 将 弧分成 个小弧段，其长 , AB n 1 2 n−1

度为∆s , i 1,2, n ．考虑物体M M ，其长度很短， i i−1 i

在弧 上任取一点( )，那么( )点处的线 M M ξ ,η ξ ,η i−1 i i i i i

密度 ( )就可以替代其上任意点处的线密度，则物 µξ ,η i i

体M M 的质量为 ( ) .故物体 的 ∆m ≈µξ ,η ∆s AB i−1 i i i i i

质量 n n m ∆m ≈ µ ξ η ∆s ∑ i ∑ ( i , i ) i ， 图 10-1-1 i 1 i 1 记小弧段长度∆s , i 1,2, n 的最大值为 ，令 取极限，从而物体 的质量 的 λ λ→0 AB m i

精确值为 n m lim µ ξ ,η ∆s . ∑ ( i i ) i λ→o i 1