第1讲 空间向量及其运算(教师版).pdf

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文档介绍

第1 讲 空间向量及其运算 [玩前必备]

1.空间向量

(1)定义:空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. 模 或长度 :向量的大小.

(2) ( )

(3)表示方法: → →

①几何表示法:可以用有向线段来直观的表示向量,如始点为A 终点为B 的向量,记为AB,模为|AB|.

②字母表示法:可以用字母 , , , 表示,模为 , , , . a b c … |a| |b| |c| …

2. 【几类特殊的向量】 零向量:始点和终点相同的向量称为零向量,记作 .

(1) 0 单位向量:模等于 的向量称为单位向量.

(2) 1

(3)相等向量:大小相等、方向相同的向量称为相等向量.

(4)相反向量:方向相反,大小相等的向量称为相反向量.

(5)平行向量:方向相同或者相反的两个非零向量互相平行,此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直

线平行或重合.通常规定零向量与任意向量平行.

(6)共面向量:一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移后,都能在同一平面内,则

称这些向量共面.

3.空间向量的线性运算

类似于平面向量,可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算. 图1 图2 → → → → → →

(1)如图1,OB=OA+AB=a +b ,CA=OA-OC=a -b . → → → →

(2)如图2,DA+DC+DD =DB . 1 1

即三个不共面向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的对角线所

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表示的向量. 给定一个实数 与任意一个空间向量 ,则实数 与空间向量 相乘的运算称为数乘向量,记作 .其中:

(3) λ a λ a λa

①当 且 时, 的模为 ,而且 的方向: λ≠0 a≠0 λa |λ||a| λa ⅰ当 > 时,与 的方向相同;

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