第1讲 空间向量及其运算（教师版）.pdf

第1 讲 空间向量及其运算 [玩前必备]

1．空间向量

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． 模 或长度 ：向量的大小．

(2) ( )

(3)表示方法： → →

①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB，模为|AB|．

②字母表示法：可以用字母 ， ， ， 表示，模为 ， ， ， ． a b c … |a| |b| |c| …

2. 【几类特殊的向量】 零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作 ．

(1) 0 单位向量：模等于 的向量称为单位向量．

(2) 1

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．

(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．

(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直

线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．

(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则

称这些向量共面．

3．空间向量的线性运算

类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 → → → → → →

(1)如图1，OB＝OA＋AB＝a ＋b ，CA＝OA－OC＝a －b ． → → → →

(2)如图2，DA＋DC＋DD ＝DB ． 1 1

即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所

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表示的向量． 给定一个实数 与任意一个空间向量 ，则实数 与空间向量 相乘的运算称为数乘向量，记作 ．其中：

(3) λ a λ a λa