高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版文科）： 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第3节 平面向量的数量积及其应用学案 文 北师大版.doc

第三节　平面向量的数量积及其应用

[考纲传真]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

(对应学生用书第61页) [基础知识填充]

1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1，作eq \o(OA,\s\up8(→))＝a，eq \o(OB,\s\up8(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．

图4-3-1 (2)当θ＝0°时，a与b共线同向． 当θ＝180°时，a与b共线反向． 当θ＝90°时，a与b互相垂直．

2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．

3．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·C．

4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．

结论

几何表示

坐标表示

模

|a|＝eq \r(a·a)

|a|＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))

数量积

a·b＝|a||b|cos θ

a·b＝x1x2＋y1y2

夹角

cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)