解密23 曲线与方程-备战高考数学（理）之高频考点解密含解析.doc

高考考点

命题分析

三年高考探源

考查频率

求曲线与方程

预计高考对本讲内容的考查将以求曲线方程和研究曲线的性质为主.与平面向量或者平面几何综合命题，应予以重视.

2017课标全国Ⅱ20

2016课标全国Ⅰ20

2015广东20

★★★★

考点 求曲线与方程

题组一 直接法求轨迹方程

调研1 已知平面上两点A(-,0),B(,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为.

(1)求点P的轨迹C的方程;

(2)在y轴上的截距为1的直线l与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.

【解析】(1)设点P(x,y)，因为A(-,0)，B(,0)，所以直线PA的斜率为(x≠-)，直线PB的斜率为(x≠),

又直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为,

所以·=k1·()=(x≠±),整理得+y2=1(x≠±),

所以点P的轨迹C的方程为+y2=1 (x≠±).

(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),在y轴上的截距为1的直线l的方程为y=kx+1,

联立消去y,得(1+2k2)x2+4kx=0,

解得x1=0,x2=,

所以|MN|=|x1-x2|=||=,

整理得k4+k2-20=0,即(k2-4)(k2+5)=0,解得k=±2.

所以直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0.

☆技巧点拨☆

直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．此种方法在高考中比较常见，在求出曲线的方程后，注意去掉不符合题意的点.

题组二 定义法求轨迹方程

调研2 在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明：是一个定值．

【解析】（1）到定点的距离与到定直线的距离相等，

∴的轨迹是一个开口向右的抛物线，且，

∴的轨迹方程为．