北师大版选修高中数学 第三章 推理与证明 类比推理典例导航.ppt

;1.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，试在立体几何中，给出四面体性质的猜想．;于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想：三棱锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′、PB′C′、PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1.; 一个等差数列{an}，其中a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(1≤n≤19，n∈N＋)．一个等比数列{bn}，其中b15＝1，类比等差数列{an}，{bn}有何结论？;[解题过程]　∵在等差数列{an}中，a10＝0，

∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0，

即a19－n＋an＋1＝0，

a18－n＋an＋2＝0，

a17－n＋an＋3＝0，

……;∴a1＋a2＋…＋an

＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n.

∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，

即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1.

∴有b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n≤29，n∈N＋)．; 通过计算可得下列等式：

23－13＝3×12＋3×1＋1；

33－23＝3×22＋3×2＋1；

43－33＝3×32＋3×3＋1；

?

(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.

将以上各等式两边分别相加，得

(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，;由题目可获取以下主要信息：

①给出了求前n个正整数平方和的方法；

②类比此法写出求前n个正整数的立方和．

解答本题可类比所给求12＋22＋32＋…＋n3的和的解法，将n个等式分别相加即可求得．;[解题过程]　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，