导数--泰勒不等式专题.docx
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一、泰勒公式：
导数——泰勒不等式专题
泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。如果一个函数足够平滑，即若函数 f (x) 在包含 x0 的某个闭区间[a, b]具有 n 各阶导数，且在开区间(a, b)上存在 n ?1阶导数，
则对[a, b]上任意一点 x ，有
f (x) ?
f (x0 ) ?
0!
f ?(x0 ) 1!
(x ? x0 ) ?
f ? (x0 ) 2!
(x ? x0 )2
?? ?
f (n) (x0 )
n!
(x ? x0 )n
Rn (x).
其中 Rn (x) 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数. 我们更多的是用泰勒公式在 x0 ? 0 的特殊形式：
f (x) ?
f (0) ?
0!
f ?(0) ?
1!
f ? (0) 2!
x2 ?? ?
f n (0)
n!
x2 ? Rn (x) .
以下列举一些常见函数的泰勒公式：
①ex ? 1? 1 x ? 1 x2 ? 1 x3 ???
1! 2! 3!
② ln(x ?1) ? x ? 1 x2 ? 1 x3 ? 1 x4 ???
2 3 4
③ sin x ? x ? 1 x3 ? 1 x5 ? 1 x7 ???
3! 5! 7!
④ cos x ? 1? 1 x2 ? 1 x4 ???
2! 4!
⑤ 1 1? x
? 1? x ? x2 ? x3 ???
从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式：
①ex ? 1? x ；
② ln x ? x ?1；
③ex
? 1? x ? x
22
2
对 x ? 0 恒成立；
④ x
x ?1
? ln(x ?1) ? x 对 x ? 0 恒成立；
3⑤x ? x
3
6
? sin x ? x 对 x ? 0 恒成立；