导数--泰勒不等式专题.docx

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文档介绍

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一、泰勒公式:

导数——泰勒不等式专题

泰勒公式,也称泰勒展开式,主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。如果一个函数足够平滑,即若函数 f (x) 在包含 x0 的某个闭区间[a, b]具有 n 各阶导数,且在开区间(a, b)上存在 n ?1阶导数,

则对[a, b]上任意一点 x ,有

f (x) ?

f (x0 ) ?

0!

f ?(x0 ) 1!

(x ? x0 ) ?

f ? (x0 ) 2!

(x ? x0 )2

?? ?

f (n) (x0 )

n!

(x ? x0 )n

Rn (x).

其中 Rn (x) 为泰勒展开式的余项,泰勒展开式也叫泰勒级数. 我们更多的是用泰勒公式在 x0 ? 0 的特殊形式:

f (x) ?

f (0) ?

0!

f ?(0) ?

1!

f ? (0) 2!

x2 ?? ?

f n (0)

n!

x2 ? Rn (x) .

以下列举一些常见函数的泰勒公式:

①ex ? 1? 1 x ? 1 x2 ? 1 x3 ???

1! 2! 3!

② ln(x ?1) ? x ? 1 x2 ? 1 x3 ? 1 x4 ???

2 3 4

③ sin x ? x ? 1 x3 ? 1 x5 ? 1 x7 ???

3! 5! 7!

④ cos x ? 1? 1 x2 ? 1 x4 ???

2! 4!

⑤ 1 1? x

? 1? x ? x2 ? x3 ???

从中截取片段,就构成了高考数学考察导数的常见不等式:

①ex ? 1? x ;

② ln x ? x ?1;

③ex

? 1? x ? x

22

2

对 x ? 0 恒成立;

④ x

x ?1



? ln(x ?1) ? x 对 x ? 0 恒成立;

3⑤x ? x

3

6

? sin x ? x 对 x ? 0 恒成立;

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