10.数列中简易数论问题研究汇总.doc

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专题：数列中简易数论问题的研究

一、问题提出

问题1：设a,a,

,a是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若

a

a

2

a

9，

1

2

50

1

50

2

(a2

2

(a50

1)

2

,a50中数字0

.7

(a11)

1)

107，则a1,a2,

的个数为

问题2：已知a,b,c,d是正整数，a

bcd，d

a7，若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则这

四数依次为

.

问题3：已知等差数列

an

首项为a，公差为b，等比数列

bn

首项为b，公比为a，其中a,b

都是大于

1的正整数，且

a1

b1,b2

a3，对于任意的n

N*

，总存在m

N*，使得

am3

bn成立，则an

..

5n3

问题4：一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，则这个正数为

.

问题5：设等比数列a,aq,aq2,

,其中q是整数，试问数列中存在三项构成等差数列吗？

二、思考探究

探究1：设{an}是公差为



d的等差数列，



{bn}是公比为



q的等比数列



.

（1）若



an



3n 1，是否存在



m,k



N，使



am



am1



ak？

（2）数列{bn}中，若b1



1，公比



q



(0,1)，且

2



k



N，bk



bk1



bk2



仍是{bn}中的项，则



q



.

（3）{an}满足



a1



1,d



2,试证明任给



m



N,总存在



p



N使



a1,am,ap成等比数列



.

探究2：已知an

是公差为d的等差数列，

bn是公比为q的等比数列。

（1）若

*

n

1，是否存在m、kN，有

amam1

ak?

说明理由；

3

（2）找出所有数列

an和bn，使对一切n

N*,an1

bn,并说明理由.

an