2013年全国高中数学联赛参考答案(a卷)资料讲解.pdf

2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 ． 2 1. 设集合 A {2, 0, 1, 3} ，集合 B { x | x A , 2 x A} ．则集合 B 中所有元

素的和为 ． 2 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 、B 在抛物线 y 4x 上，满足 OA OB 4 ， F 是抛物线的焦点 . 则 S OFA S OFB ． 3. 在 ABC 中 ， 已 知 sin A 10sin B sin C, cosA 10cos B cosC, 则 tan A 的 值

为 ． 4. 已知正三棱锥 P ABC 底面边长为 1，高为 2 ，则其内切球半径为 ． 5. 设 a, b 为实数，函数 f (x ) ax b 满足：对任意 x [0, 1] ，有 f ( x) 1. 则 ab

的最大值为 ． 6. 从 1,2, , 20 中任取 5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率

为 ． 7. 若实数 x, y 满足 x 4 y 2 x y ，则 x 的取值范围是 ． 8. 已知数列 { an } 共有 9 项，其中 a1 a9 1 ，且对每个 i { 1, 2, ,8} ，均有 ai 1 1 2, 1, ，则这样的数列的个数为 ． ai 2 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤 ． 9. （本题满分 16 分）给定正数数列 {xn} 满足 Sn ≥2Sn - 1, n = 2,3, ，这里 S = x + + x ．证明：存在常数 C > 0 ，使得 n 1 n xn ≥C ?2n , n = 1,2, ． 10. （本 题 满 分 20 分 ）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 椭 圆 的 方 程 为 2 2 x y 1(a b 0) ，