抽象函数性质.docx

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抽象函数性质综述

抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接

受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识 .

函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查 .

函数的周期性要紧扣周期函数的定义 .要注意，函数的周期性只涉及到一个函数 .

函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中

心对称.

一、基本定义

1、定义

1：（周期函数）对于函数

f(x)，如果存在一个非零常数

T，使得当x取定义域的每一个值时，都

有f(x

T)

f(x)，那么，函数

f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

2、定义

2：（同一函数图象的对称性）若函数

y

f(x)图象上任一点关于点

P（或直线l）的对称点仍在

函数y

f(x)的图象上，则称函数

y

f(x)的图象关于点

P（或直线l）对称.

3、定义

3：（两个函数图象的对称性）若函数

y

f(x)图象上任一点关于点

P（或直线l）的对称点在函

数y

g(x)的图象上；反过来，函数

yg(x)图象上任一点关于点

P（或直线l）的对称点也在函数

y

f(x)的图象上，则称函数

y

f(x)与y

g(x)的图象关于点

P（或直线l）对称.

二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明

1、若函数y

f(x)的定义域为R，且f(a

x)

f(x

b)恒成立，则函数

y

f(x)是以T

a

b为周期

的周期函数；

2、若函数y

f(x)的定义域为

R，且f(a

x)

f(b

x)恒成立，则函数

y

f(x)的图象关于直线

x

a

b

2

对称；