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学习数学 领悟数学 秒杀数学 第三章 不等式 PAGE PAGE 1

专题7 权方和不等式

秒杀秘籍：第一讲 柯西不等式变形式

对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．同理当时，等号成立．

【例1】，求证：

【解析】．

【例2】求证：．

【解析】．

【例3】设，则最小值为（ ）

A． B． C． D．

【解析】.当时，等号成立.

【例4】为正实数，且，则的最小值是 .

【解析】．

【例5】已知，则最小值是 .

【解析】，令，则，当仅当，即，，等号成立.

【例6】已正数满足则的最小值为 .

【解析】，当仅当，即 时，等号成立.

秒杀秘籍：第二讲 权方和不等式运用

权方和不等式：若则

当仅当时，等号成立.为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.

关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为次，分母为次.

【例7】设是正实数且满足，求最小值.

【解析】当，即时等式成立.

【例8】若三边对应分别为.求证：.

【解析】，当，等号成立.

【例9】若，求证：.

【解析】，当时，即

时等号成立.

【例10】若，求最小值.

【解析】

当仅当时，等式成立.

达标训练

1．已知实数，，，且，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

2．对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）

A． B． C． D．

3．已知，且，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

4．设正数满足，则　 　 ．

5．设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为　 　 ．

6．已知均为正数，且，求证：．

7．设为正实数，且．求证：．

8．（1）已知是正实数，求证：，当且仅当时等号成立；

（2）求的最小值，并指出取最小值时的值．

9．已知，求证：．

10．设均为正数，且．

求证：；

（2）求证：．

11．设 ，且，求证：．