新课程高中数学课堂教学中的案例(一)5.docx
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新课程高中数学课堂教学中的案例（一）
— 再谈基本不等式
a 2
b 2
a
b
ab
2 ab
的创新表示法
2
2
a
b
石河子第一中学
朱友忠
案例：基本不等式
a 2
b 2 a
b
ab
2 ab
的创新表示法
2
2
a b
《北师版·必修
5》【不等式 习题课 】§ 3·4
P95
B 组第
1 题略有改动
题目：在⊙ O 上半圆中已知 AC=a,CB=b,( a≥
b),CD ⊥ AB,EO⊥ AB,连接 OD，作 CF⊥ OD 如图所示：请用
a,b
分别表示线段
CE,OE,CD,DF 的长度，指出它们之间的大小关
系，并证明；
一、归纳课本中的表示法
E
解：∵ AC= a,CB=b, ∴ OC= a b ,CG=OE= a
b
D
2
2
在 Rt△ EOC 中，有 CE2=OC
2+OE
2=( a
b )2+( a b ) 2= a 2 b2
F
2
2
2
OE=OD= a
b ( 同圆的半径相等 ) ， CD= ab
A
O
C
B
2
在 Rt△ ODC 中，有 CD2=DF· OD;
∴DF= CD2
= (
ab) 2
= 2ab
OD
a b
a
b
2
整理： CE=
a2
b 2
， OE= a
b
,
CD=
ab ,
2ab
2
2
DF= a
b
通过图中的 Rr △的斜边与直角边的关系，显然可以得出：
CE≥OE≥ CD≥ DF成立；
即： a2
b 2
a
b
ab
2ab ， 当且仅当 a=b 时，取“ =”成立。主要是建立集合图形证明。
2
2
a
b
《北师版·选修
2- 2》 (P12 习题 1- 2 中第 1 题中 )再次出现“
a 2
b2
a
b
ab
2ab ”的证明。
2
2
a
b
二、创新课本中的表示法
上课时提问： “ a b ”在全面所学的知识中与那个式子类同？
2
学生甲说：在学习等差数列中