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曲面的切平面与法线 对于一个封闭曲面（不封闭的曲面添加曲面将其构成一个封闭曲面）上的法线，若取指向该封闭空间外侧方向，则称为外法线；反之若取指向该封闭空间内侧方向，则称为内法线。他们是同一条法线，只是取的方向不同 三、一元向量值函数及其导数 向量值函数的导数运算法则: 例2. 设空间曲线? 的向量方程为 一、问题的提出 二、二元函数的泰勒公式 作业 习题7-8 1, 3, 4 三、极值充分条件的证明 四、小结 第二次 测 验 利用二元函数的泰勒公式证明第九节中定理2． 证 依二元函数的泰勒公式， * 设曲面方程为 切平面方程为 法线方程为 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面上点的竖坐标的增量 因为曲面在M处的切平面方程为 全微分的几何意义 平面 切平面 曲面 其中 解 令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 设切点 依题意知切向量为 切点满足曲面和平面方程 例6 内法线方向就是沿法线方向并且指向曲线弯曲的方向。 引例: 已知空间曲线 ? 的参数方程: ? 的向量方程 称为一元向量 值函数. 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 极限： 连续： 导数： 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 设 是可导向量值函数, 是可导函数, 则 C 是常向量, c 是任一常数, 例1. 设 解： 求曲线? 上对应于 解: 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 = 6 第八节 二元函数的泰勒公式 二、二元函数的泰勒公式 三、极值充分条件的证明 一、问题的提出 一元函数的泰勒公式