导数应用题标准答案.docxVIP

16.如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为． （Ⅰ）求面积以为自变量的函数式； （Ⅱ）若，为常数，且，求的最大值． 值． （Ⅰ）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为． …………1分 点的横坐标满足方程，解得，舍去． ………2分 所以． …4分 由点在第一象限，得． 所以关于的函数式为 ，． …………5分 （Ⅱ）解：由 及，得． ………………6分 记， 则． ………………8分 令，得． ………………9分 ① 若，即时，与的变化情况如下： ↗ 极大值 ↘ 所以，当时，取得最大值，且最大值为． …………11分 ② 若，即时，恒成立， 所以，的最大值为 ………………13分 综上，时，的最大值为；时，的最大值为． 17. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米． （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗油（升）． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升 （II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得 令得 当时，是减函数； 当时，是增函数． 当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升 19. 已知函数，点为一定点，直线分别与函数的图象和x轴交于点，记△AMN的面积为。 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若，使得，求实数a的取值范围。 7. 解：（Ⅰ）因为，其中 当，，其中 当时，， 所以，所以在上递增， 当时，， 令，解得，所以在上递增 令，解得，所以在上递减 综上，的单调递增区间为 （Ⅱ）因为，其中 当，时， 因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于 ，令，得 当时，即时 对成立，单调递增 所以当时，取得最大值 令，解得， 所以 当时，即时 对成立，单调递增 对成立，单调递减 所以当时，取得最大值 令，解得 所以 综上所述， 20、已知函数在处取得极值。 （Ⅰ）求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，都有； （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围. （I），依题意， 即…………………………………………2分 解得a=1，b=0. ∴……………………………………………………4分 （II）∵∴， 当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数， ……………………………………6分 ∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值，……………………8分 （III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上. 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足 因，故切线的斜率为 ， 整理得. ∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线， ∴关于x0方程=0有三个实根.……………………10分 设g(x0)= ，则g′(x0)=6， 由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减. ∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1………………12分 ∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是 ，解得－3<m<－2. 故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.……………………14分 13（18）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若 QUOTE 在 QUOTE 上恒成立，求的取值范围. （1）当 时，， …………2分 …………3分 所以，函数在点处的切线方程为 即：