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经典 量子 于是 由此解得最大值得位置为 例如 可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。 最大值位置 最大值位置 最大值位置 这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。 相邻两个最大值之间的距离 如果阱宽a不变，当 时 二、势垒穿透和隧道效应 有限高的势垒 在P区和S区薛定谔方程的形式为 其中 在Q区粒子应满足下面的方程式 式中 用分离变量法求解，得 (P区) (Q区) (S区) 在P区，势垒反 射系数 在Q区，势垒透射系数 粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。 隧道效应的应用： 扫描隧道显微镜(STM) 隧道二极管 隧道效应 例1:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面正交性的性质： 即不同能级的波函数互相正交。 解: 波函数 取其复共轭 相乘并积分，得 把波函数的正交性和归一性表示在一起， 其中 当m = n 时 , ?mn = 1 当m ? n 时 , ?mn = 0 ?mn 称为克罗内克符号。 §4 势垒和隧道效应 一、粒子进入势垒 二、有限宽势垒和隧道效应 三、隧道效应的应用 ψ 2 ψ 1 透射? 反射 入射 1.势函数 讨论入射能量 E <U0情况 x Ⅱ区 0 Ⅰ区 E U0 U(x) 一、粒子进入势垒 U ( x ) = U 0 í ì ? 0 x < 0 x > 0 I 区 令 2. 定态薛定谔方程 x Ⅱ区 0 Ⅰ区 E U0 U(x) 方程为 II 区 令 > 3.薛定谔方程通解 通解 通解 波动形式 指数增加和衰减 考虑物理上的要求 当x?? 时 ?2(x) 应有限 所以 D = 0 于是 E U0 Ψ2 透射 Ψ1 入射+反射 x Ⅱ区 Ⅰ区 0 4.概率密度 ( x > 0 区 ) x >0区 (E <