重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移(8题型+满分技巧+限时检测)(解析版).docx

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文档介绍

重难点2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移8大题型

函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数,然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到目的。考查难度较大。

函数的极值点偏移问题,是导数应用问题,呈现的形式往往非常简洁,涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,考查考生的化归与转化思想,逻辑思维能力、运算求解能力。

【题型1 单变量不等式的证明】

满分技巧

不等式证明的常用思路

1、移项构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;

2、最值法:若无法转化为一个函数的最值问题,则可以考虑转化为两个函数的最值问题.

在证明过程中,等价转化是关键,此处恒成立.从而f(x)>g(x),

但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”.

3、适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;

4、构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数

【例1】(2024·山东青岛·高三校考期末)已知函数.

(1)当时,求的单调区间;

(2)当时,证明:.

【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析

【解析】(1)当时,,则

当时,,单调递增,

当时,,单调递减,

故在上单调递增,在上单调递减,

(2)(法一)当时,

由(1)可知,即,

当时,,单调递减,

当时,,单调递增,

所以在单调递减,在单调递增,

因此,(当且仅当时取得等号)

(法二)当时,

令,可知

于是在单调递减,在单调递增,

因此,(当且仅当时取得等号).

令,则由(1)知:故在单调递增,

因此.所以.

【变式1-1】(2023·安徽合肥·高三校考期末)已知函数.

(1)当时,求的单调区间

(2)讨论的单调性;

(3)当时,证明.

【答案】(1)

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