幂级数教案完整版.doc

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课

题

§12-3 幂级数

教学目的

1．了解幂级数的收敛域的构造及求法；

2．掌握利用幂级数的性质求和函数，以及利用和函数求某些数项级数的和。

教学重点

幂级数收敛域的求法，求和函数

教学难点

求幂级数的和函数

课 型 专业基础课

教法选择 讲 授

教 学 过 程

教法运用及板书要点

函数项数的概念

设有定义在区间 上的函数列

由该函数列构成的表达式 （1）

称作函数项级数.而 （2）

称为函数项级数（1）的前项部分和.

对于确定的值，如常数项级数 （3）

收敛，则称函数项级数在点收敛，点是函数项级数的收敛点；若发散，则称函数项级数在点发散，点是函数项级数的发散点.函数项级数的全体收敛点的集合称为它的收敛域；函数项级数的全体发散点的集合称为它的发散域..

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页

设函数项级数的收敛域为，则对内任意一点，收敛， 其收敛的和自然依赖于，即其收敛和应为的函数，记为；称函数为函数项级数的和函数. 的定义域就是级数的收敛域，并记为

则在收敛域上有.把叫做函数项级数的余项，对收敛域上的每一点，有 .

从以上的定义可知，函数项级数在区域上的敛散性问题是指在该区域上的每一点的敛散性，因而其实质还是常数项级数的敛散性问题.因此我们仍可以用数项级数的审敛法来判别函数项级数的敛散性.

幂级数及其收敛性

1、 幂级数的定义:

函数项级数中最简单且最常见的一类级数是各项均为幂函数的函数项级数，称其为幂级数，它的形式是 (3)

其中常数称作幂级数的系数.

注：幂级数的表示形式也可以是

它是幂级数的一般形式，作变量代换即可以把它化为(3)的形式.因此在以后的讨论中，如不作特殊说明，我们用幂级数(3)作为主要的讨论对象如:1+x+x2+…+…xn+…, 1+x+x2+…+xn+…都是幂级数. 幂级数的收敛域与发散域