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专项一 代数推理
关键词:代数推理
1.【福建2022中考考向】已知实数m,n满足m+2n=-5,2m-n>0,求eq \f(m,n)的取值范围.以下是万万的解题过程:
解:∵m+2n=-5,∴m=-5-2n,
∵2m-n>0,∴2(-5-2n)-n>0,
即5n+10<0,①
解得 n<-2,②
∵2m-n>0,
∴2m>n,③
∴eq \f(2m,n)>1,④
∴eq \f(m,n)>eq \f(1,2).⑤
万万解题过程中开始出现错误的一步对应的序号为______.
2.【福建2023中考考向】已知eq \f(1,x)+eq \f(1,y)=2,则eq \f(5x-7xy+5y,x-6xy+y)=__________.
3.作为二维码中数据码的200个方格可以生成2200个不同的数据二维码,现有四名网友对2200的理解如下:
A:2200就是200个2相乘,它是一个非常非常大的数;
B:2200等于2002;C:2200的个位数字是6;
D:我知道 210=1 024,103=1 000,所以我估计2200比1060大.
其中对2200的理解错误的网友是________.
4.已知三个实数a,b,c满足a-3b+c=0,a2-c2>0,则下列结论正确的是( )
A.b<0,a>c B.b>0,a<c
C.9b2<4ac D.9b2>4ac
5.【新课标例题改编】阅读下列材料,并完成相应任务:
一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a,b,c,若a+b+c能被3整除,求证:这个三位数也能被3整除.
证明:依题意得,这个三位数为100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)=3(33a+3b)+(a+b+c),
∵a+b+c能被3整除,3(33a+3b)能被3整除,
∴这个三位数能被3整除.
任务:一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是a,b,c,d,若a+b+c+d能被3整除,求证:这个四位数也能被3整除.
【变式题】如果一个四位数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足ab-bc=cd,那么称这个四位数为“递减数”.例如:四位数4129,∵41-12=29,∴4129是“递减数”;又如:四位数5324,∵53-32=21≠24,∴5324不是“递减数”.若一个“递减数”为a312,则这个数为______;若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除,则满足条件的数的最大值是________.
答案
1.④ 2.-eq \f(3,4) 3.B
4.D 点拨:由a-3b+c=0,得a+c=3b,
由a2-c2>0,得(a+c)(a-c)>0,
∴3b(a-c)>0,∴b>0,a>c或b<0,a<c,
∴A,B选项错误.
由a-3b+c=0,得b=eq \f(a+c,3),∴9b2-4ac=9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+c,3)))eq \s\up12(2)-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2,由题易知a≠c,
∴9b2-4ac>0,
即9b2>4ac,∴D选项正确.
5.证明:依题意得,这个四位数为
1 000a+100b+10c+d
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)
=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d),
∵a+b+c+d能被3 整除,3(333a+33b+3c)能被3整除,
∴这个四位数能被3整除.
【变式题】4 312 8 165
点拨:∵a312是“递减数”,
∴10a+3-31=12,∴a=4,∴这个数为4 312.
由题意可得10a+b-10b-c=10c+d,
一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和为
100a+10b+c+100b+10c+d
=100a+10b+c+100b+10a+b-10b-c
=110a+101b=99(a+b)+11a+2b,
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除,
∴11a+2b能被9整除,
∵各数位上的数字互不相等且均不为0,
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=8,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=7,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=3,,b=6,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=4,,b=5,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=5,,b=4,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=6,,b=3,))eq \b\lc\{(\a\vs4
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