高中数学花开两朵各表一枝（说题稿）徐晓红 公开课教案教学设计课件资料.doc

PAGE 4 花开两朵各表一枝 ——2017年浙江高考数学试题第19题说题稿 湖州一中 徐晓红 图1众所周知,数学的产生和发展总是在提出问题和解决问题的过程中进行的.美国数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)认为,问题是数学的心脏,数学的真正的组成部分是问题和解.而作为万众瞩目的高考试题,更能充分展示数学问题的知识脉络以及延伸价值.下面将对一道高考题的立意、解法、拓展以及在课堂教学中的作用等方面进行分析. 图1 一．说问题出处： 【2017浙江高考数学试题第19题】如图1，已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD ，CDAD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点． (Ⅰ)证明：CE//平面PAB. (Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 二. 说题目立意： 图2本题主要考查空间点、线、面的位置关系，直线与平面所成的角，空间向量与立体几何等基础知识，同时考查学生的空间想象能力、图形语言和符号语言的表达能力以及运算求解能力. 考查难度偏基础，是大部分学生必须拿下的一个题目. 图2 三. 说解法赏析： (Ⅰ) 【解法一】线线平行线面平行 图3如图2，设PA的中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PA，PD的中点.所以EF//CD且EF=CD，又因为BC//AD且BC=CD,所以EF//BC且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形，所以BF//CE，又CE平面PAB,BF平面PAB, 图3 因此CE//平面PAB. 【解法二】线面平行线面平行 如图3，取AD的中点为N.连接EN,CN.因为BC//AD且BC=CD,所以BC//AN且BC=AN,即四边形ABCN为平行四边形，所以CN//AB,又CN平面PAB,AB平面PAB,所以CN//平面PAB.同理EN//平面PAB.又CN,EN平面CEN且CNEN=N, 所以平面CEN//平面PAB,又CE平面CEN,所以CE//平面PAB. 【解法三】坐标法 图4如图4，过点D作平面ABCD的垂线DM,以D为坐标原点，以DA,DC,DM所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设CD=1，则D (0,0,0),A(2,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),设P(x,y,z),因为|PA|=|PD|=,|PC|=2, 图4 (x-2)2+ y 2+ z 2 =2 所以 x2 + y 2 + z 2 =2, 解得x=1,y=,z=. x2 +( y -1)2 + z 2 =4 所以P(1,),E(),=(),又=(), =(),可算得平面PAB的法向量所以 又CE平面PAB，所以CE//平面PAB. 【解法四】基底法 设且由得所以三个向量共面, 又CE平面PAB，所以CE//平面PAB. 图5(Ⅱ) 【解法一】作、证、算 图5 如图5，分别取BC,AD的中点为M,N.连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点，所以Q为EF的中点，在平行四边形BCEF中，MQ//CE. 由PAD为等腰直角三角形得PNAD.所以AD平面PBN,由BC//AD得BC平面PBN,又BC平面PBC,所以平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角. 设CD=1，在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=在PBN中，由PN=PB=1，PB=得QH=在MOH中，QH=MQ= 所以所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 【解法二】体积法 如图6，过点E作EH平面PBC于H,连接HC，则ECH即为直线CE与平面PBC所成的角.因为E是PD的中点，所以E到平面PBC的距离等于D到平面PBC的距离的一半，又AD//平面PBC,所以D到平面PBC的距离等于N到平面PBC的距离. 图6设N到平面PBC的距离为,则EH=由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD. 图6 所以AD平面PBN, 由BC//AD得BC平面PBN,所以BCPB. 设CD=1.则在PBC中，PB=所以 在PBN中，PN=BN=1，所以 由即得则 在PCD中,PC=2，CD=1，PD=则CE=在HEC中, 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 【解法三】坐标法（在第(Ⅰ)小题【解法三】的基础上继续完成第(Ⅱ)小题） 设平面PBC的一个法向量为 则 ，即 ，令则 设直线CE与平面PBC所成的角为，则 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是 【解法四】基底法（在第(Ⅰ)小题【解法四】的基础上继续完成第(Ⅱ)小题） 设平面PAB的一个法