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中考数学专题复习中点问题思路及解法

中点问题是初中数学考试中的热点和难点，也是必考点。今天我们将从一个典型的中点问题入手，探讨解决它的不同思路。

问题呈现：这道题看起来简单，因为图形很熟悉。但仔细思考后，会发现有一定难度，尤其是题目中给出的重要条件不是∠APE=90°，而是点P是线段DG的中点。如果你不会利用这个条件，就无法解决这个问题。因此，当遇到中点时，需要想到哪些解决问题的思路？不同的思路需要用到哪些辅助线和知识点呢？下面我们将从常见的思路出发，分别进行思考。

方法1：构建直角三角形斜边上的中线

当遇到中点时，可以考虑构造中线，特别是等腰三角形底边上的中线和直角三角形斜边上的中线。这两种中线一旦作出来，就会给我们带来惊喜。

在上图中，我们可以延长EG交AD于点H，这样△DHG既是直角三角形又是等腰三角形。连接HP后，就可以得到很多有用的结论。结合要证明的PA=PE，可以寻找图中含PA和PB的全等三角形来证明。

方法2：构建三角形的中位线

在构造三角形的中位线时，同样要先构造以DB为边的三角形，然后找到线段DH的中点M，连接MP并延长，交BC于点N。利用中位线的性质，可以证明PM=EN。由于DM=MP，可得AM=PN。然后用SAS可以证得△MPA≌△NEP，从而得到PA=PE。

方法3：中点线段倍长

图中的可倍长的中点线段有AP和EP。将中点的另一侧倍长后，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的性质，即可得到图中四边形HGED是平行四边形。由此可得DH平行且等于EG，因此CP为Rt△HCE的斜边上的中线，所以CP=EP。又因为直线DB是正方形ABCD的对称轴，所以CP=AP，从而得到AP=EP。这种方法中，线段CP性质的充分使用成了解决问题的关键。

方法4：构建梯形中位线