阶线性微分方程解得结构.pptx

二阶线性微分方程 第四节二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例 第八章 第一页，共十六页。

一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.第二页，共十六页。

据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:第三页，共十六页。

求讨论上抛高度h与时间t的关系。例2. 空气的阻力与物体运动的速度成正比（比例系数为k）。解: 如右图建立坐标轴（h轴），正向朝上。设物体在时刻 t的高度为 h(t) 。在时刻t受到两个由牛顿第二定律知，力的作用，其一为重力-mg，其二为空气阻力-kv。由导数的物理意义知：以初速度 垂直上抛一质量为m的物体，如果从而得到h(t)满足的方程：第四页，共十六页。

n 阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 (二阶线性微分方程)例1例2— 可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y第五页，共十六页。

证毕二、二阶线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理1.①第六页，共十六页。

说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 第七页，共十六页。