文档介绍
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * § 5.4 二次型 对于二次型，我们讨论的主要问题是寻找可逆的线性变换 (5.4.2) 得到只含平方项的二次型，也就是将(5.4.2)式代入(5.4.1)式，能使 (5.4.3) 这种只含平方项的二次型(5.4.3)式，称为二次型f的标准形. § 5.4 二次型 如果二次型f的标准形(5.4.3)式中系数 只在1，-1，0三个数中取值，也就是将(5.4.2)式代入(5.4.1)式，能使 ， (5.4.4) 其中r为二次型f的秩，则称(5.4.4)式为二次型f的规范形. 记 则可逆线性变换(5.4.2)写成矩阵形式 x=Cy ，其中C为可逆矩阵. § 5.4 二次型 这里新二次型的矩阵 . 将x =Cy 代入二次型 f = xTAx ，得 而 即A是对称矩阵时， 也是对称矩阵, 所以线性变换 x =Cy 将二次型 f = xTAx化为新二次型 § 5.4 二次型 定义5.12 设A，B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使 , 则称矩阵A与B合同. 由上面的讨论可知，二次型经过可逆线性变换后得到的新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的，且因C可逆时，有 所以二次型 f = xTAx 经可逆线性变换 x =Cy 后, 二次型f 的矩阵由A变为与A合同的矩阵 ，但二次型f的秩不变. 要使二次型f 经可逆线性变换 x =Cy 变成标准形，就是要使 § 5.4 二次型 即要求可逆矩阵C使 (对角矩阵), 这个问题称为把对称矩阵A合同对角化. 常用方法有正交变换法与配方法. § 5.