高等数学：9-7-方向导数与梯度.ppt

§9.7 方向导数与梯度 数量场和向量场 如果对于空间区域 G 内任意一点 M，都有一个确定的数量 f(M)与之对应，则称此空间区域 G 内确定了一个数量场． 常见的数量场有温度场、密度场等． 如果对于空间区域 G 内任意一点 M，都有一个确定的向量 A(M)与之对应，则称此空间区域 G 内确定了一个向量场． 常见的向量场有引力场、静电场、速度场等． 一、场的概念 数量场的本质就是多元函数． 稳定场和不稳定场 如果场不随时间而变化，则称这类场为稳定场； 反之，称为非稳定场． 一、场的概念（续） 二元函数 z = f(x, y) 在点 P(x, y) 处的关于 x 的偏导数 反映函数在水平方向（横轴方向）上的变化率． fy(x, y) 反映函数在垂直方向（纵轴方向）上的变化率． 问题：如何定义函数在斜方向上的变化率？ 问题的提出 P(x, y) Q(x+?x, y) 设有一块长方形的金属板，在一定的温度条件下，金属板 受热产生如图所示的不均匀的稳定的温度场． 设在金属板的某处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁在其逃生路线 上每一点处应沿着什么方向逃生才能在最短时间内爬行到 安全的地方？ 答：蚂蚁在每一点处都 应沿着温度变化率最大 的方向爬行． 引例 定义：设函数 z = f(x, y) 在点 P(x, y) 的某一邻域内有定义， l 为从点 P 引出的射线，P? (x +?x, y +?y) 为射线 l 上且含于 邻域内的一点，令 若 存在， 则该极限值称为 f(x, y) 在点 P 处沿方向 l 的方向导数， 记为 二、方向导数 方向导数与偏导数的关系 设点 P(x, y)，点 P? (x +?x, y +?y)，则 当 l 取 x 轴的正向时，?y = 0， 于是 当 l 取 x 轴的负向时，?y = 0， 于是 说明：方向 l 取 y 轴的正向（负向）时的情形同理可得． 设点 P(x, y)，点 P? (x +?x, y +?y)，则 定理：若函数 f(x, y) 在点 P(x, y) 处是可微的， 则 f(x, y) 在点 P 处沿任意方向 l 的方向导数都存在，且 其中 j 为 x 轴的正向到方向 l 的转角． 证明过程 方向导数与偏导数的关系 证明过程 因为 f(x, y) 在点 P(x, y) 处可微，即 等式两边同时除以 r ，得 于是 返回 设点 P(x, y)，点 P? (x +?x, y +?y)，则 定理：若函数 f(x, y) 在点 P(x, y) 处具有一阶连续偏导数， 则 f(x, y) 在点 P 处沿任意方向 l 的方向导数都存在，且 其中 j 为 x 轴的正向到方向 l 的转角． 证明过程 方向导数与偏导数的关系 证明过程 因为 f(x, y) 在点 P(x, y) 处具有一阶连续偏导数， 所以 f(x, y) 在点 P(x, y) 处可微，即 等式两边同时除以 r ，得 于是 返回 方向导数的推广 f(x, y) 在点 P(x, y) 处沿方向 l 的方向导数 其中 f(x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处沿方向 l 的方向导数 其中 ，a, b, g 为方向 l 的方向角． 例：求函数 在点 A(1, 0, 1) 处沿点 A 指向 点 B(3, ?2, 2) 的方向的方向导数． 知识点： 解：第一步，计算偏导数． 因为 所以 例：求函数 在点 A(1, 0, 1) 处沿点 A 指向 点 B(3, ?2, 2) 的方向的方向导数． 知识点： 解：第二步，计算向量 的方向余弦． 因为 ，所以 三、梯度的概念 定义：设 f(x, y) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则 ??P(x, y) ?D ，都可以定义一个向量 称为 f(x, y) 在点 P(x, y) 处的梯度，记为 grad f(x, y)． 令 ，q = grad f(x, y) 与 的夹角， 结论： 就是梯度在方向 l （即 ）上的投影． 结论 结论： 就是梯度在方向 l 上的投影． 若方向 l 与梯度方向一致，则 取得最大值 | grad f |． 若方向 l 与梯度方向相反，则 取得最小值 ?