2023年中考数学压轴题培优教案专题10 胡不归问题（含答案解析）.docx

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案 专题9胡不归（PA+kPB）型最短问题 解题策略 解题策略 “PA＋k·PB”型的最值问题,当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题,而当k＞0时,若以常规的轴对称的方式解决,则无法进行,因此必须转换思路． 当点P在直线上 如图,直线BM,BN交于点B,P为BM上的动点,点A在射线BM,BN同侧,已知sin∠MBN＝k． 过点A作AC⊥BN于点C,交BM于点P,此时PA＋k·PB取最小值,最小值即为AC的长． 证明 如图,在BM上任取一点Q,连结AQ,作QD⊥BN于点D． 由sin∠MBN＝k,可得QD＝ k·QB． 所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC,即得证． 2． 当点P在圆上 如图,⊙O的半径为r,点A,B都在⊙O外,P为⊙O上的动点,已知r＝k·OB． 在OB上取一点C,使得OC＝ k·r,连结AC交⊙O于点P,此时PA＋k·PB取最小值,最小值即为AC的长． 证明 如图,在⊙O上任取一点Q,连结AQ,BQ,连结CQ,OQ． 则OC＝ k·OQ,OQ＝ k·OB． 而∠COQ＝∠QOB,所以△COQ∽△QOB, 所以QC＝ k·QB． 所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC,即得证． 经典例题 经典例题 【例1】（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1,0）,B（0,?3）,C（2,0）,其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点,若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,求点M的坐标； （3）若P为y轴上的一个动点,连接PD,求12PB＋PD 【例2】（2022·重庆·八年级期末）已知,在正方形ABCD中,点E,F分别为AD上的两点,连接BE、CF,并延长交于点G,连接DG,H为CF上一点,连接BH、DH,∠GBH+∠GED=90° (1)如图1,若H为CF的中点,且AF=2DF,DH=102,求线段 (2)如图2,若BH=BC,过点B作BI⊥CH于点I,求证：BI+2 (3)如图2,在（1）的条件下,P为线段AD（包含端点A、D）上一动点,连接CP,过点B作BQ⊥CP于点Q,将△BCQ沿BC翻折得△BCM,N为直线AB上一动点,连接MN,当△BCM面积最大时,直接写出22 【例3】（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点,将三角形分成两个三角形,其中一个三角形与原三角形相似,则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=108°,DE垂直平分AB,且交BC于点D,连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时,PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度． (3)如图3,射线CF平分∠ACB,点Q为射线CF上一点,当AQ+5?14CQ取最小值时, 【例4】（2021·全国·九年级专题练习）如图,在平面直角坐标系中,直线l1：y＝33x＋3和直线l2：y＝﹣3x＋b相交于y轴上的点B,且分别交x轴于点A和点C （1）求△ABC的面积； （2）点E坐标为（5,0）,点F为直线l1上一个动点,点P为y轴上一个动点,求当EF＋CF最小时,点F的坐标,并求出此时PF＋22OP 培优训练 培优训练 一、填空题 1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图,在△ABC中,AB＝AC＝4,∠CAB＝30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 2．（2022·湖北湖北·八年级期末）如图,?ABCD中∠A=60°,AB=6,AD=2,P为边CD上一点,则3PD+2PB 3．（2022·湖北武汉·一模）如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端点),则OD+1 4．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）如图,在△ACE中,CA＝CE,∠CAE＝30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点（不含端点）,则OD+12 5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）如图,正方形ABCD的边长为4,点E为边AD上一个动点,点F在边CD上,且线段EF＝4,点G为线段EF的中点,连接BG、CG,则BG+12CG 6．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,直线l分别交x、y轴于B、C两点,点A