复合函数y=(3x^3+2x^2).(x-1)^2的图像.doc

函数y=eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)的示意图

本文主要内容：

通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限，并用直角坐标系五点图法，介绍画函数y=eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)示意图的主要步骤。

※.函数的定义域

∵x-1≠0，

∴x≠1，即函数的定义域为：

(-∞,1)∪(1,+∞）

※.函数的单调性

∵y=eq \f(3x3+2x2,(x-1)2)

∴eq \f(dy,dx) =eq \f((9x2+4x)(x-1)2-2(x-1)(3x3+2x2),(x-1)4)

=eq \f((9x2+4x)(x-1)-2(3x3+2x2),(x-1)3)

=eq \f(x[(9x+4)(x-1)-2(3x2+2x)],(x-1)3)

=eq \f(x(3x2-9x-4),(x-1)3)

令eq \f(dy,dx) =0，则x1=0或3x2-9x-4=0。当3x2-9x-4=0时，有：

x2=eq \f(9-\r(129),6), x3=eq \f(9+\r(129),6) (1).当x∈(eq \f(9-\r(129),6),0), (1, eq \f(9+\r(129),6)]时，eq \f(dy,dx) ＜0，此时函数y为减函数；

(2).当x∈(-∞, eq \f(9-\r(129),6)],[0,1),( eq \f(9+\r(129),6)，+∞)时，eq \f(dy,dx) ＞0，此时函数y为增函数。

※.函数的凸凹性

∵eq \f(dy,dx) =eq \f(3x3-9x2-4x,(x-1)3)

∴eq \f(d2y,dx2) =eq \f((9x2-18x-4)(x-1)3-3(3x3-9x2-4x)(x-1)2,(x-1)6)

=eq \f((9x2-18x-4)(x-1)-3(3x3-9x2-4x),(x-1)4)