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5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是

1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

x2

( a b) x ab x

a x b 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确

定适合条件的两个数， 即把常数项分解成两个数的积， 且其和等于一

次项系数。

对于二次三项 ax2 bx c （a、b 、c 都是整数，且 a 0 ）来说，

如 果 存 在 四 个 整 数 a1 ， c1 ， a2 ， c2 满 足 a1a2 a， c1c2 c ， 并 且

a1 c2 a2 c1 b ，那么二次三项式 ax 2 bx c 即 a1a2 x 2 a1c2 a2c1 x c1 c2 可

以分解为 a1x c1 a2 x c2 。这里要确定四个常数 a1 ， c1， a2 ， c2 ，分析

和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

在方程、不等式中的应用

例 1. 已知： x2 11x 24 0 ，求 x 的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即

可求解。

解： x2

11x

24

0

x

3

x

8 0

x

3

0

x

3

0

x

8

0

或

8

0

x

x

8 或 x

3

例 2. 如果 x4 x3 mx2 2mx 2能分解成两个整数系数的二次因式

的积，试求 m 的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把 x 4 分成 x2 x2 ，而对于常数项 -2 ，可能分解成 1 2 ，

或者分解成 2 1，由此分为两种情况进行讨论。

解：（1 ）设原式分解为 x 2 ax 1 x 2 bx 2 ，其中 a、b 为整数，

实 用文档 1

去括号，得：

x4 a b x3 x 2 2a b x 2

将它与原式的各项系数进行对比，得：

a b