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高中数学数列压轴题练习（XX）及详解

1.已知数列 是公差为正数的等差数列,其前n项和为 ,且 • ,

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)数列 满足 ,

①求数列 的通项公式;

②是否存在正整数m, ,使得 , , 成等差数列?若存在,求出m,

n的值;若不存在,请说明理由.

解:(I)设数列 的公差为d,则 由 • , ,得 , 计算得出 或 (舍

去). ;

(Ⅱ)① , , , , 即 , , , , 累加得: , 也符合上式. 故 , .

②假设存在正整数m、 ,使得 , , 成等差数列, 则 又 , , , ,即 , 化简得: 当 ,即 时, ,(舍去); 当 ,即 时, ,符合题意. 存在

正整数 , ,使得 , , 成等差数列.

解析

(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等

差数列的通项公式得答案;

(Ⅱ)①把数列 的通项公式代入 ,然后裂项,累加后即

可求得数列 的通项公式; ②假设存在正整数m、 ,使得 , , 成等差数列,则 .由此列关于m的方程,求计算得出答案.

2.在数列 中,已知 ,

(1)求证:数列 为等比数列;

(2)记 ,且数列 的 n项和为 ,若 为数列 中

的最小项,求 的取值X 围.

解:(1)证明: , 又 , , , 故 , 是以3为首

项,公比为3的等比数列

(2)由(1)知道 , ,

若 为数列 中的最小项,则对 有

恒成立, 即 对 恒成立 当 时,有 ; 当 时,有 ; 当 时, 恒成立, 对 恒成

立. 令 ,则 对 恒成

立, 在 时为单调递增数列. ,即

综上,

解析

(1)由 ,整理得: .由 , ,可以知道 是以3为首项,公比为3的等比数列;

(2)由(1)求得数列 通项公式及前n项和为 ,由 为数列 中的最