03隐零点专题精简版.doc
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专题三 . 隐零点专题
知识点
一、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数 f (x) ,导函数方程 f '( x) 0 的根存在, 却无法求出, 设方程 f ' (x) 0
的根为
x0 ,则①有关系式
f ' (x0 )
0 成立,②注意确定
x0 的合适范围
.
二、含参函数的隐零点问题
已知含参函数
f (x,a) ,其中
a 为参数,导函数方程
f ' ( x, a)
0 的根存在, 却无法求出,
设方程
f ' ( x)
0 的根为
x0 ,则①有关系式
f '( x0 )
0成立,该关系式给出了
x0 , a
的关系,
②注意确定
x0 的合适范围,往往和
a 的范围有关
.
例 1. 已知函数 g( x) ex
ln( x
2)
,证明 g(x) > 0.
例 2. ( 01)已知函数 f
(
x
ex
a
ln
x
.
)
( I )讨论 f (x) 的导函数 f ' (x) 的零点的个数;
( II
)证明:当 a 0
时, f ( x)
a( 2
ln a) .
例 3. ( 2017. 全国)已知函数
f ( x)
ax2
ax
x ln x,且 f ( x)
0.
( I )求 a ;
( II
)证明: f ( x) 存在唯一的极大值点
x0 ,且 e 2
f ( x0 )
2 2
.
例 4.(2016.
全国甲 .21)
( I )讨论函数
f (x)
x
2
ex 的单调性,并证明当
x 0 时,
x
2
( x 2)ex
x
2 0;
( II )证明:当 a [0,1)
时,函数 g x =
ex
ax
a
(x
0)
有最小值 . 设 g
x 的最小值为
x
2
h(a) ,求函数 h(a)