第一章第五节无穷小与无穷大.pptx

第一章

二、 无穷小的运算性质

四 、无穷小与无穷大的关系

一、 无穷小

第五节

无穷小与无穷大

三、 无穷大

当

一、 无穷小(Infinitely Small Quantity)

即：若

时 , 函数

则称函数

例如 :

函数

当

时为无穷小;

函数

时为无穷小;

函数

当

为

时的无穷小 .

时为无穷小.

极限为零的变量(函数)称为无穷小.

定义1 .

说明:

1：无穷小是变量,不能与很小的数混淆;

因为

当

时,

显然 C 只能是 0 .

C

C

时 , 函数

则称函数

为

定义1. 若

则

时的无穷小 .

2：无穷小是相对于x 的某个变化过程而言!

零是可以作为无穷小的唯一的数.

证：

必要性

充分性

其中 为

时的无穷小量 .

定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )

对自变量的其它变化过程类似可证 .

(1) 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

定理1的意义：

二、无穷小的运算性质 定理2. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

只证明在同一过程中两个无穷小的和的情形

时, 有

二、 无穷小运算性质

定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 .

证: 考虑两个无穷小的和 .

设

当

时 , 有

当

时 , 有

取

则当

因此

这说明当

时,

为无穷小量 .

定理3. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证：

推论1. 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2. 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3. 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

也是无穷小

例1. 求

解:

利用定理 2 可知

说明 : y = 0 是

的渐近线 .

？

三、 无穷大(Infinitely Large Quantity)

定义2 . 若任给 M > 0 ,

一切满足不等式

的 x , 总有

则称函数

当