东南大学920《信号与系统》电子讲义CH3 Section 9-9.pdf

§3-9 Parseval 定理 功率谱与能量谱

一、 周期信号的功率谱 1．功率谱的概念 A ∞ f (t) ( 0 ) + A cos( nΩt − ) T ∑ n ϕn 2 n 1 A ∞ ( 0 ) + (a cos nΩt +b sin nΩt) ∑ n n 2 n 1 R 1Ω 设 ， 1 T 2 A0 2 ∞ a 2 b 2 P f t dt + n + n T ∫ T ( ) ( 2 ) ∑( 2 2 ) 0 n 1

则 A 2 ∞ A 2 ∞ ( 0 ) + n P ∑ ∑ n 2 n 1 2 n 0 A A 2 （∵ ( n ) 2 n ） 2 2 以上等式即功率信号的Parseval 定理。 称P ~ nΩ (n 0,1,2L) ——功率谱 n 〈 只和幅谱平方有关，与相谱无关 〉

2．周期信号有效值 A ∞ A 2 ∆ P ( 0 ) 2 + ∑ n I 2 ⋅1 I 2 ， 2 n 1 2

则有效值 ∞ A 2 ∞ A 2 I ∑P ( 0 ) +∑ n —方均根值 n 0 n 2 n 1 2

二、能量信号的能量谱 由： ∞ 2 ∞ 1 ∞ j ωt W ∫f (t ) dt ∫f (t )[ 2π ∫F ( j ω) e d ω]dt −∞ −∞ −∞ 1 ∞ ∞ 2π ∫F ( j ω)[ ∫f (t ) e j ωt dt ]d ω −∞ −∞ 1 ∞ 1 ∞ 2 ( ω) (− ω) ω ω ω 2π ∫F j F j d 2π ∫| F (j ) | d −∞ −∞ ∞ 2 ∞ | F (j ω) | 2 dω | F (j 2πf ) | df ∫ ∫ π 0 −∞ ∞ ∞ 2 2 W ∫f (t)dt ∫|F(j 2πf ) | df —Rayleigh 定理 −∞ −∞ | ( ) |2 F j ω G(ω) π ， ∞ ∞ W ∫