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§6.2 线性空间的定义与简单性质6.2 线性空间的定义与简单性质 . . . 一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质 §6.2 线性空间的定义 与简单性质 两种运算满足: 引例 1 运算: 加法和数量乘法： 数域P上的n维向量空间Pn 两种运算满足: 引例 2 运算: 加法和数量乘法 数域P上的全体m×n矩阵,记为Pm×n 一、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为 的和，记为 ； 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 的数量乘积，记为 法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间. 在P与V的元素之间还 如果加法和数量乘 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 ， 加法满足下列四条规则： ① ⑤ ⑥ 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ （具有这个性质的元素0称为V的零元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ② ⑧ ;（ 称为 的负元素） ③ 在V中有一个元素0，对 ④ 对 都有V中的一个元素 ，使得 3. 线性空间的判定： 注： 1. 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 2. 线性空间的元素也称为向量， 向量空间． 称为线性运算． 运算满足八条规则 集合对于定义的加法和数乘运算封闭 线性空间也称 但这里的向量不一定是有序数组． 例1 引例1中的 Pn为数域 P上的线性空间． 例3 数域 P上多项式的全体， 加法和数量乘法 引例2中的 Pm×n为数域 P上的线性空间． 例2 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间． 按多项式的 记为 P[x], 构成数域 P上的一个线性空间． 按多项式的加法和数量乘法 线性空间． 构成数域 P上的一个 例5 全体正实数R＋， 判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .