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反演公式及其应用 反演公式及其应用 第七章 反演公式及其应用 解决组合数学中一些类型的求和、级数变换问题的有效工具 §7.1 正规多项式族 1. 正规多项式族 定义7.1.1 实变量x的多项式族 P0(x), P1(x), P2(x), …, Pn(x),… 简记为{Pn(x)} 若满足P0(x)=1, Pn(0)=0, n≥1, 则称{Pn(x)}为正规多项式族. 给定正规多项式族{Pn(x)}, 则对任一k次多项式Qk(x), 存在常数 即Qk(x)可表示为P0(x), P1(x), P2(x), …, Pk(x)的线性组合. 反演公式及其应用 给定正规多项式族{Pn(x)}, D是将{Pn(x)}中每个多项式Pn(x)映射为多项式DPn(x)的映射. 若D满足 (2)D[λPn(x)]=λDPn(x); (3) D[Pm(x)+Pn(x)]= DPm(x)+DPn(x); 则称D为{Pn(x)}上的微分算子. 注:求导运算为{xn}的微分算子. 反演公式及其应用 例2 对正规多项式簇{[x]n}, 定义算子 则▽是{[x]n}上的微分算子. 若D是正规多项式簇{Pn(x)}上的一个微分算子,则D是任意多项式上的微分算子. 定理6.1.2(Taylor) 若D是正规多项式簇{Pn(x)}上的一个微分算子,Q(x)为任一k次多项式, 则有 注: 若正规多项式簇为{xn}, 则(6.1.2)即为Taylor- Maclaurin 公式. 反演公式及其应用 例3 证明Norlund公式 反演公式及其应用 2. 第一反演公式 设 和 为满足条件 的两个多项式簇, 和 为两组数,则 反演公式及其应用 说明: 若Δ和D分别为正规多项式簇{Pn(x)}和{Qn 互为可逆. 反演公式及其应用 定理6.1.4(逆二项式公式) 若数列 和 满足 则 j=0,1,2,…,n. 反演公式及其应