文档介绍
* * §11.4 隐函数微分法 一. 一个方程的情形 利用微分形式不变性 利用微分形式不变性 例 设 , 求 解 z 是 x , y 的函数 将方程两边对 x 求偏导数 , 有 将方程两边对 y 求偏导数 , 有 解二 将方程两边取全微分 , 有 解 例 试证: 由 确定的函数 u = u(x , y , z) 满足 将方程两边取全微分 , 有 dF = 0 , 即 二. 方程组的情形 若记 ( 称为 F , G 关于 y , z 的 雅可比行列式 ) 则有 同理 对于方程组 可确定函数: 将上方程组两边分别对 x , y , z 求偏导数 , 有 解以上线性方程组就可 u , v 关于各变量的偏导数 解 例 设 求 三个方程 , 五个未知量 , 根据隐函数存在定理 可确定其中三个变量是另外两个变量的函数 由题意知 z = z(x , y) , θ = θ(x , y) , ? = ? (x , y) 方法一: 将上方程组两边对 x 求偏导数 , 有 解得 再将上方程组两边对 y 求偏导数 , 有 解得 方法二: 将上方程组两边取全微分 , 有 解得 解这类问题的要点: (1) 首先搞清变量与变量之间的关系 , 即谁 是谁 的函数 (2) 将方程组两边对自变量求偏导 , 得到偏 导数满足的线性方程组 (3) 解线性方程组得到所求的偏导数 解 例 设 , 求 两个方程 , 五个未知量 , 确定其中两个变量 是剩余三个变量的函数 . 由题意知: u = u (x , y , z) , v = v (x , y , z) 将上方程组两边取全微分 , 有