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第五节 幂级数 2，幂级数的性质 * * 10-5 幂级数 定义: 幂级数是一类特殊的，十分重要的函数项级数。 幂级数是多项式的推广，它的敛散性具有特别的性质。 证明： 1，幂级数的收敛半径与收敛域 引理:(Abel 引理) （如果数列的极限存在，则该数列有界） 由(1)结论, 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 由Abel 引理，可得 定理1： 定义: 具有如上性质的正数 R 称为幂级数的收敛半径。 收敛区间连同可能收敛的端点称为幂级数的收敛域。 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 开区间 (-R, R) 称为幂级数的收敛区间。 证明： 由比值审敛法, 定理证毕. 例2：求下列幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域。 解： 该级数收敛。 该级数发散。 解： 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间与收敛域均为 注意：在求缺少偶次幂或奇次幂项的幂级数的收敛半径时，不能直接用幂级数的系数的比值或根值，而应从常数项正项级数的比值判定法出发求收敛半径。 (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 柯西乘积 定理4: 利用幂级数的内闭一致收敛性 ，即可导出幂级数和函数的连续性，可积性及可微性。 证明： 注：逐项积分后的幂级数收敛半径不改变。