中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习六几何综合题试.pdf

专题复习(六) 几何综合题

1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．

(1)如图1，四边形ABCD 中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA 的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边

形；

(2)如图2，点P是四边形ABCD 内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD.点E、F、G、H分别为边AB、BC、

CD、DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．(不必证明) 图1 图2

解：(1)证明：连接BD.

∵E、H分别是AB、AD 的中点， 1

∴EH＝ BD，EH∥BD. 2

∵F、G分别是BC、CD的中点， 1

∴FG＝ BD，FG∥BD. 2

∴EH＝FG，EH∥FG.

∴中点四边形EFGH是平行四边形．

(2)中点四边形EFGH是菱形．

证明：连接AC、BD.

∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC.

又∵PA＝PB，PC＝PD， SAS

∴△APC≌△BPD( )．∴AC＝BD.

∵点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点， 1 1

∴EF＝ AC，FG＝ BD.∴EF＝FG. 2 2

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴中点四边形EFGH是菱形． 图3

(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC BD交于点O，BD EF，AP分别交于点M，Q，中点四边形EFGH是正方

形．理由如下：

由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC＝∠PBD.

又∵∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ＝∠APB＝90°.

又∵EF∥AC，∴∠OMF＝∠AOQ＝90°.

又∵EH∥BD，∴∠HEF＝∠OMF＝90°.