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电动力学二三分离变量法

基本问题：电场由电势描述

电势满足泊松方程+边界条件

只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法

本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法

具体的工作：解泊松方程

在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．

例如

电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的

电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的

这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．

选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程

它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为

anm, bnm, cnm, dnm为任意常数

若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为

例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。

这问题有球对称性，电势φ不依赖于角度θ和Φ。设导体壳外和壳内的电势分别为

解

边界条件为：

（1）内导体接地

（2）整个导体球壳为等势体

（3）球壳带总电荷Q，

将通解代入边界条件

由这些边界条件得

其中

利用这些值得电势的解

导体球上的感应电荷为

例2 电容率为ε的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。

设球半径为R0，球外为真空（如图）。这问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。

球内区域的电势

解

球外区域的电势

边界条件：

（1）无穷远处，

因而

（2）R＝0处，2为有限值，因此

（3）在介质球面上，有

则有

比较P1的系数得

可解出

其他Pn项的系数可解出为

所有常数已经定出，因此本问题的解为