中考数学分类汇编 3.6反比例函数与图形的面积(2015年).pdf

1. (2015 湖北省咸宁市) 如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在

x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）． （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C （1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端

点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

①试求△PAD 的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；

若不能，请说明理由．

答案：解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；

②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；

由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：

①x≥﹣3时，显然y=x+3；

②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．

在直线y=x+3 中，当x=﹣4时，y=﹣1，

则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．

把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，

得 ，解得 ，

∴y=﹣x﹣3．

综上所述，新函数的解析式为y= ； （2）如图2，①∵点C （1，a）在直线y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵点C （1，4）在双曲线y= 上，

∴k=1×4=4，y= ．

∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），

∴可设点D 的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．

∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，

∴P （ ，m+3），

∴PD= ﹣m，

∴△PAD 的面积为

S= （ ﹣m）×（m+3）=﹣ m ﹣ m+2= ﹣ （m+ ）+ ，2 2

∵a=﹣ ＜0，

∴当m= ﹣ 时，S有最大值，为 ，

又∵﹣3＜﹣ ＜1，

∴△PAD 的面积的最大值为 ；