千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第34炼 向量的模长问题几何法.doc

第五章 第34炼 向量的模长问题——几何法 向量

第34炼 向量的模长问题——几何法

一、基础知识：

1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：

（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线

（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形

2、向量数乘的几何意义：对于

（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向

（2）模长关系：

3、与向量模长问题相关的定理：

（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为

① 正弦定理：

② 余弦定理：

（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线

特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。

（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件

4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长

二、典型例题：

例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量的夹角为，且，则（ ）

A. B. C. D.

欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出 即可。

解：如图可得：，在中，有：

即：

解得或（舍）

所以，

答案：选

例2：若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（ ）

A. B. C. 或 D. 或

欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246：首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是同向（如图1，此时夹角均为0），则为 ，另一种情况为两两夹角 （如图2），以为突破口，由平行四边形法则作图得到与夹角相等，（底角为的菱形性质），且与反向，进而由图得到，选C

答案：C