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第 6 周习题课参考内容 极限、偏导数、微分

1．求极限 2 ln( x 2 ey ) 2 2 ① lim 2 2 （=1）； ② lim (x y ) ln x y （=0）； x 0 x 0 y 0 x y y 0 xy | x | | y |p ③ lim （不存在）； ④ lim （p 1存在 =0 ）； x 0 x 2 y 2 1 1 x 0 | x | | y | y 0 y 0 2 4 ( x y ) xy y 2 ⑤ lim (x y )e （=0）； ⑥ lim ( 2 2 ) （=0）． x x x y y y

提示 ：二元函数 lim ( , ) 求极限的常用思路（计算题不必用 方法验证） ． f x y x x 0 y y0 （1）先考察 lim f (x , y ) 是否存在．如果发现沿不同的路径（例如当 (x, y) 沿不同射线）趋向 x x 0 y y0 于 (x0 , y0 ) 时， f (x, y) 趋向于不同的值，则极限不存在． （例如③） （2 ）如果极限存在，可以利用一元函数求极限的技巧求二元函数的极限． （例如①②⑤） （3 ）有些需要做放大或缩小处理，然后观察是否存在极限． （例如④⑥） （4 ）计算要有过程，还要有必要的说明．

2 ．计算偏导数 2 2 yz u u u u yz 1 （1）设 u x ，求 ( ) ? 以及 ( ) ? （= zx (1 yzln x) ） x y x y y x y x y xdy ydx （2 ）设 u arcsin ，求 du ？（ = ） x | x | x 2 y 2 2 2 y u u （3 ）设 u arctan ，求 ；（ =0） 2 2 x x y 2 x y u u u （4 ）设 u arctan ，求 , , ； x y x y x y 2 2 u y u x u y x