中考压轴题二次函数中的存在性问题之旋转.docx

二次函数中的存在性问题之旋转

典例剖析

【典例1】(2019?内江)两条抛物线 Ci： yi=3x2-6x-1与C2： y2= x2 - mx+n的顶点相同.

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点，过点 A作AP，x轴，P为垂足，求 AP+OP的最

大值；

(3)设抛物线C2的顶点为点C,点B的坐标为(-1, -4),问在C2的对称轴上是否存在点 Q,使线

段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB',且点B'恰好落在抛物线 C2上？若存在，求出点Q的坐

标；若不存在，请说明理由.

标；若不存在，请说明理由.

m, n;【点拨】(1) y1 = 3x2-6x-1的顶点为(1, -4)也是y2= x2 - mx+n的顶点，即可求

m, n;

(2)作 AP^x 轴，设 A (a, a2 - 2a - 3),所以 AP= - a2+2a+3, PO=a,可得 AP+OP = - a2+3a+3= -(??-

|)2+2l由已知可知0va<3,即可求；

(3)假设C2的对称轴上存在点 Q,过点B'作B'D^l于点D,可得/ B'DQ = 90° ;

①当点Q在顶点C的下方时，可证△ BCQ^A QDB',设点Q (1, b),所以B'D = CQ=-4-b, QD = BC=2,可知 B' ( - 3 - b, 2+b),可得(-3 - b) 2-2 ( - 3-b) -3 = 2+b,可求 b= - 5, Q (1, -5), ②当点Q在顶点C的上方时，同理可得 Q (1, -2).

【解答】解：(1) y1=3x2-6x-1的顶点为(1, -4),